Đặt x=a/c , y= b/c , t=x+y => (x+1)(y+1) =4 => xy+x+y =3 => xy=3-t và t≥2
suy ra P = 32x³ + 32y³ - √x̅²̅+̅y̅²̅
(y+1)³ ( x+1)³
với A,B >o thi 4(A³+B³)≥(A+B)³
=>P≥8( x + y )³-√x²̅̅+̅y̅²
y+3 x+3
lại có
x + y = x² +y² +3(x+y) =
y +3 x+3 (x+3)(y+3)
= (x+y)²-2xy +3(x+y)
xy+3(x+y) +9
= t²-2(3-t) +3t = (t-1)(t+6) = t-1
3-t +3t+9 2(t+6) 2
và x²+y² = (x+y)²-2xy =
= t²-2(3-t) =t²+2t-6
=> P≥ (t-1)³ - √t̅²̅ ̅+̅2̅t̅-̅6̅ =
= (t-1)³- √t̅²+̅2̅t̅-̅6̅
Xet hàm số f(t) = (t-1)³- √t̅²̅+̅2̅t̅-̅6̅ ( vời t≥2)
f’(t) =3(t-1)² - t+1
- √t̅²̅+̅2̅t̅-̅6̅
với t≥2 thì t²+2t-6 ≥1=>
1 ≤ 1
- √t̅²̅+̅2̅t̅-̅6̅
=> f’(t) > 3(t-1)² -(t+1) =(t-2)(3t-1) ≥0 (với mọi t≥2)
suy ra f(t) đồng biến khi t≥2 => f(t)≥f(2)=1-√2̅
=> MinP = 1-√2̅ <=> x+y=2 <=> a=b=c=1